Дана строка, состоящая из целых чисел от 1 до 15. любые два различных числа от 1 до 15 встречаются рядом в этой строке. какое наименьшее количество чисел может быть в этой строке?

102

257

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

shvetzovayuliy

Математика

4,6(52 оценок)

Сначала ограничим ответ снизу. очевидно, самый оптимальный вариант - когда ни одна пара чисел в строке не повторяется. т.е., каждый раз, когда какое-то число (кроме первого) встречается в строке, оно "исключает" двух своих соседей. тогда каждое число должно встретиться в строке хотя бы 7 раз, т.к. входит состав 14 различных пар чисел. число, которое стоит первым в строке, должно встретиться хотя бы 8 раз, т.к. на первой позиции у него только один "сосед". получаем нижнюю границу 14*7 + 8 = 106 покажем, что эта граница достижима. для этого достаточно пример такой строки. далее я опишу один из возможных способов. выпишем все возможные (цикличные) цепочки чисел 1..15 со сдвигами 1..7 1: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2: 1 3 5 7 9 11 13 15 2 4 6 8 10 12 14 1 3: 1 4 7 10 13 1 2 5 8 11 14 1 3 6 9 12 15 1 4: 1 5 9 13 2 6 10 14 3 7 11 15 4 8 12 1 5: 1 6 11 1 2 7 12 2 3 8 13 3 4 9 14 4 5 10 15 5 6: 1 7 13 4 10 1 2 8 14 5 11 2 3 9 15 6 12 3 7: 1 8 15 7 14 6 13 5 12 4 11 3 10 2 9 1 {кстати, можно заметить, что цепочки из 15 чисел образуются сдвигами, не имеющими общих делителей с числом 15, хотя это не имеет особого значения для } очевидно, что в цепочках с разными сдвигами не могут встретиться одинаковые пары чисел. так же заметим, что числа в строке можно заменять на цепочки, начинающиеся и оканчивающиеся на это число, и это не образует одинаковых пар чисел. то есть, чтобы построить искомую строку, можно взять цепочку 1 2 .. 14 15 1 и по своему усмотрению вставить в нее цепочки с другими сдвигами. например: 1 4 7 10 13 1 6 11 1 7 13 4 10 1 2 5 8 11 14 2 7 12 2 8 14 5 11 2 3 6 9 12 15 3 8 13 3 9 15 6 12 3 4 9 14 4 5 10 15 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 3 5 7 9 11 13 15 2 4 6 8 10 12 14 1 5 9 13 2 6 10 14 3 7 11 15 4 8 12 1 8 15 7 14 6 13 5 12 4 11 3 10 2 9 1 {здесь я заменил числа 1, 2, 3 на тройки коротких цепочек, числа 4, 5 на короткие цепочки, а число 1, стоящее в конце, на три длинные цепочки} получилась строка из 106 чисел, где каждая пара встречается один раз, что и требовалось.