Есть кучка из 577 орехов. за одну операцию можно любую из уже имеющихся кучек разделить на две. если при этом получатся две неравные кучки, то взимается штраф 1 рубль. какова наименьшая возможная сумма штрафа, которую придется заплатить, чтобы получить 577 кучек по одному ореху в каждом?

273

500

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

PutinVodka

Математика

4,4(77 оценок)

Покажем, как разделить 577 орехов со штрафом 2 рубля. сначала убираем один орех и платим один рубль, остается 576 орехов. потом делим их на кучки из 512 и 64 орехов, платим ещё один рубль. заметим, что 512 = 2^9, 64=2^5 и покажем, как разделить эти кучки без штрафа. кучку из 512 орехов делим на две кучки по 2^8=256 орехов, потом каждую из них делим на две кучки по 2^7=128 орехов и так далее. ясно, что каждый раз кучка будет делиться на две равные кучки. аналогично поступим и с кучкой из 64 орехов. теперь покажем, что разделить 577 орехов на кучки по 1 ореху со штрафом 1 рубль нельзя. действительно, при первом делении орехи разделятся на кучки размера a и b, где a+b=577. поскольку число 577 нечетно, ровно одно из чисел (без ограничения общности можно считать, что это число a) также нечетно. если a> 1, то при дальнейшем делении кучки размера a на две части обязательно придется заплатить штраф и итоговая сумма штрафа составит не менее двух рублей. остается случай, когда a=1, b=576. покажем, что тогда кучку размером 576 орехов невозможно разделить на 576 кучек по одному ореху без штрафов. действительно, 576=64*9, то есть, это число не является степенью двойки. если мы начнем делить эту кучку поровну, а потом делить поровну получающиеся кучки, то рано или поздно получим 64 кучки из 9 орехов, которые разделить без штрафа уже не получится. таким образом, итоговая сумма штрафа составит не менее 2 рублей, а пример на 2 рубля выше. ответ: 2 рубля.