Три велосипедиста, третирующие на треке длиной 200 метров, одновременно стартуют с одного места и двигаются в одном направлении. их скорости равны 20 км/час, 25 км/час и 30 км/час. через сколько минут после старта все трое опять встретятся? какое расстояние проедет самый быстрый из них?

209

412

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

nastabugrim

Математика

4,8(77 оценок)

Обозначим расстояния, которые проехали велосипедисты до момента их встречи. первый проехал x + 0.2k. x - некоторое вещественное число в диапазоне [0; 0.2) км - это часть круга, начиная с отправной точки и заканчивая текущим положением велосипедиста. k - некоторое целое неотрицательное число - это количество полных кругов, которое успел проехать первый велосипедист второй проехал x + 0.2m, m∈z третий проехал x + 0.2n, n∈z пусть все затратили в это время t часов. тогда первый проехал 20t км, второй 25t км, третий проехал 30t км. получим систему уравнений: x+0.2k=20t, x+0.2m=25t, x+0.2n=30t. 5x+k=100t, 5x+m=125t, 5x+n=150t. из первого уравнения выразим t: t=(5x+k)/100 подставим это во второе уравнение: 5x+m=125* (5x+k)/1004*(5x+m)=5*(5x+k)20x+4m=25x+5k5x=4m-5kтак как m и k целые, то выражение 4m-5k тоже целое. следовательно, и левая часть тоже целая. если x∈[0; 0.2), то 5x∈[0; 1). единственное целое значение здесь это 5x=0. отсюда x=0. тогда 4m-5k=0, 4m=5k подставим t=(5x+k)/100 в третье уравнение: 5x+n=150*(5x+k)/100n=150k/1002n=3k.получим систему для m, n, k: 4m=5k,2n=3k.поскольку m и k взаимно простые, то m должно делиться на 5, а k на 4. тогда пусть m=5a, где a - некоторое целое неотрицательное число. тогда k=4*5a/5=4a.во втором уравнении этой системы: 2n=3*4an=6a.в итоге имеем: k=4a,m=5a,n=6a.при a=0 получим начальное положение велосипедистов, когда они только начали свой заезд. это нам не подходит. при a=1 велосипедисты впервые встретятся одновременно.k=4,m=5,n=6.найдем время их заезда. t=(5x+k)/100=(5*0+4)/100 часов = 1/25 часа = 60/25 минут = 2.4 минут.самый быстрый за это время проедет 30 км/ч * 1/25 ч = 30/25 км = 1.2 км.ответ: 2.4 минут, 1.2 км.