Математика: Sin^3(x)+cos^3(x)=1 решите тригонометрическое уравнение

nastyakarina112

04.10.2021 18:35

Математика

Есть ответ 👍

Sin^3(x)+cos^3(x)=1 решите тригонометрическое уравнение

208

260

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

ladykrisMi

Математика

4,6(21 оценок)

Разложим (sin(x)^3+cos(x)^3) как сумму кубов, тогда получим (sin(x)+cos(x))*(sin(x)^2-sin(x)*cos(x)+cos(x)^2)=1 по основному тригонометрическому тождеству sin(x)^2+cos(x)^2=1получаем: (sin(x)+cos(x))*(1-sin(x)*cos(x))=1 (sin(x)+cos(x))*(1-sin(2x)/2)=1 скобка (1-sin(2x)/2) всегда положительна, так как синус принимает значения в диапазоне от минус одного до одного, тут он разделен на два, значит диапазон будет от -1/2 до 1/2. чтобы произведение равнялось положительной единице от первой скобки требуется принимать тоже положительные значения тогда при возведении в квадрат мы получим равносильное уравнение: (sin(x)+cos(x))^2*(1-sin(2x)/2)^2=1(sin(x)^2+2*sin(x)*cos(x)+cos(x)^2)*(1-sin(2x)/2)^2=1(1+sin(2x))*(1-sin(2x)/2)^2=1введем замену sin(2x)=t, t принадлежит [-1; 1](1+sin(2x))*(1-sin(2x)/2)^2=1(1+t)*(1-t+(t^2)/4)=1 перемножим скобки и получим после подобных, что (t^3)/4-(3*t^2)/4=0домножим уравнение на 4 и ввнесем t^2 за скобки: t^2*(t-3)=0t1=0, t2=3> 1 - не подходит если t = 0, тоsin(2x)=02x=пkx=пk/2 , где k принадлежит z