Y(x)=4x^2-x^4 исследовать функцию с производной и построить график

162

338

Посмотреть ответы 3

Ответы на вопрос:

Alinasia

Математика

4,8(47 оценок)

исследовать функцию f (x) = -x⁴+4х² и построить ее график.

решение:

1. область определения функции - вся числовая ось.

2. функция f (x) = -x⁴+4х² непрерывна на всей области определения. точек разрыва нет.

3. четность, нечетность, периодичность:

f(–x) = (–x)⁴+4(–x)² = х⁴+4x² = f(x) и f(–x) = (–x)⁴+4–x)² = (x4+4x²) ≠ –f(x)

функция является четной. функция непериодическая.

4. точки пересечения с осями координат:

ox: y=0, -x⁴+4x²=0, -x²(x²–4)=0 ⇒ x=0, x=+-2. значит (0; 0), (-2; 0) и (2; 0)- точки пересечения с осью ox.

oy: x = 0 ⇒ y = 0. значит (0; 0) - точка пересечения с осью oy.

5. промежутки монотонности и точки экстремума:

y'=0 ⇒ -4x³+8x =0 ⇒ -4x(x²–2) = 0 ⇒ x = 0, x = √2, х = -√2 критические точки.

промежутки монотонности, где функция возрастает или убывает, показаны в таблице стрелками. экстремумы функции занесены в таблицу.

х = -1.5 -1.41 -1 -0.5 0 0.5 1 1.41 1.5

y '=-4x³+8x 1.5 0 -4 -3.5 0 3.5 4 0 -1.5 в точках х = -√2 и х = √2 производная меняет знак с + на - это максимум, в точке х = 0 производная меняет знак с - на + это минимум. 7. вычисление второй производной: y''=0, -12x²+8 = 0,-4(3x²-2) = 0. x= -1.5 -0.8165 -1 1 0.816497 1.5 y''=-12x²+8 -19 0 -4 -4 0 -19 отсюда имеем 2 точки перегиба: х₁ = √(2/3),

х₂ = -√(2/3).

8. промежутки выпуклости и точки перегиба: направление выпуклости графика и точки перегиба занесены в таблицу.

x= -1 -0.817 -0.5 0.5 0.817 1 y''=-12x²+8 -4 0 5 5 0 -4.функция вогнутая на промежутках [-sqrt(2/3), sqrt(2/3)] выпуклая на промежутках (-oo, -sqrt(2/3)] u [sqrt(2/3), oo) 9. график функции в приложении.