70 ! решите : сумма трёх чисел, составляющих арифметческую прогрессию равна 30. если из первого числа вычесть 5, из второго 4, а третье оставить без изменений, то полученные числа составят прогрессию. найдите эти числа.

151

248

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

Ychenikpurple

Алгебра

4,6(31 оценок)

1. имеем арифметическую прогрессию: а₁, а₂, а₃, где а₂ =а₁ + д; или а₁ = а₂ - д; (1) а₃ = а₂ + д; (2) по условию: а₁+ а₂ + а₃ = 30 (3), но сумма трех членов равна также: (а₁ + а₃)·3: 2 = 30, ⇒ а₁ + а₃ = 20 (4). сравнивая (3) и (4) (или вычитая из (3) ( получим: а₂ =10; 2. по условию: (а₁ - 5); (а₂ - 4); а₃ - прогрессия. исходя из ее свойств (а₂ - 4)/(а₁ - 5) = а₃/(а₂ - 4) или, т.к. а₂ =10 и ⇒ а₂ - 4 = 6; 6/(а₁ - 5) = а₃/6 (5). преобразуем (5) и выразим а₁ и а₃ через а₂: пригодятся выражения (1) и (2). а₃·(а₁ - 5) = 36 ; (а₂+д)·(а₂ -д -5) =36, вставив а₂ = 10, получим: (10+д)·(10 - д - 5) =36; (10+д)·(5 - д) = 36; 50 + 5д -10д - д² = 36; д² + 5д - 14 = 0; д₁ = (-5 + √(25+56): 2 = (-5+9): 2 = 2 (т.к. по условию прогрессия возрастающая, отрицательный д₂ на берем) тогда а₁ = а₂ - д = 10 - 2 = 8; а₃ = а₂ +д =10 + 2 = 12; прогрессия наша: 8, 10, 12 проверка: (а₂-4)/(а₁-5) = 12/(а₂-4) = 6: 3=12: 6, и новая прогрессия (3,6,12) .