20 , прошу, . две правильные четырехугольные пирамиды, все ребра которых равны √6(√2+1), соединены основаниями так, что получается правильный восьмигранник. в этот восьмигранник вписан куб, все вершины которого находятся на ребрах восьмигранника. найдите площадь грани куба.

254

344

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

ilyuxayakovlev

Геометрия

4,7(3 оценок)

Октаэдр в можно представить себе следующим образом. пусть есть трехмерная система координат. на каждой из осей надо отложить от начала координат отрезки равной длины в обе стороны. получится 6 точек, которые и будут вершинами октаэдра. к примеру, если вершины (0,0,a) (0,0,-a) (0,a,0) (0,-a,0) (a,0,0) (-a,0,0) то ребро равно c = a√2. если хочется, можно найти, чему равно а при заданной длине ребра c = √6(√2 + 1). a = √3(√2 + 1); но это не существенно. легко видеть, что в каждой из плоскостей, содержащих две оси координат, лежат одинаковые квадраты со стороной c. вот тут самая важная часть решения. "с точки зрения вписанного куба" сечения, проходящие через оси xoz и yoz - это прямоугольники сo сторонами b и b√2 где b - ребро куба. эти сечения проходят через ребро куба, параллельное оси z и диагонали горизонтальных граней. в сечении плоскостью xoy лежит квадрат со стороной b, не касающийся квадрата со стороной c (октаэдра). то есть получается такая для нахождения b (при заданном c) "в квадрат со стороной c = √6(√2 + 1) вписан прямоугольник со сторонами b и b√2, стороны которого параллельны диагоналям квадрата. надо найти b^2". очевидно, что c = (b/2)*√2 + (b√2/2)*√2 = (b√2/2)(√2 + 1); отсюда b = 2√3; b^2 = 12;