Брусок массы m тянут за нить так, что он движется с постоянной скорость по горизонтальной плоскости с коэффициентом трения k. найти угол который нить образует с горизонталью, при котором натяжение нити минимально. чему оно равно?

288

323

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

natalyater1

Физика

4,7(28 оценок)

для начала необходимо получить зависимость силы натяжения нити t от угла наклона к горизонтали α, т.е. функцию t(α)

разумно в данном случае будет направить ось x горизонтально по движению бруска, а ось y вертикально вверх. тогда, написав уравнения динамики в проекциях на них, получим:

x: t cosα = u n

y: n + t sinα = mg

решая эту систему уравнений (например, выражая из второго уравнения n и подставляя в первое), получим искомую функцию:

t(α) = (u mg)/(u sinα + cosα)

заметим, что числитель данной функции есть величина постоянная, решающую роль играет только знаменатель, т.к. только он зависит от угла. проще всего, по-моему, будет ввести дополнительную функцию ψ(α) = u sinα + cosα. очевидно, сила натяжения минимальна в том случае, когда функция ψ(α) принимает наибольшее значение, при этом найденный угол α* (при котором достигается максимум функции ψ(α)) будет являться искомым

условия максимума:

(dψ)/(dα) = 0; (d²ψ)/(dα²) < 0

найдем первую производную:

(dψ)/(dα) = u cosα - sinα.

ясно, что первая производная обращается в ноль при значении u = tgα. мы можем предположить, что найденный угол α* = arctg(u) и есть искомый

найдем вторую производную:

(d²ψ)/(dα²) = - u sinα - cosα < 0

действительно, u - величина положительная, а угол между нитью и горизонталью лежит на отрезке α ∈ [0; π/2). следовательно, найденный угол α* - искомый. подставим значение u = tgα* в функцию t(α):

t(α*) = tmin = (u mg)/(cosα [1 + u²])

из тригонометрии: cosα = 1/√[1+ctg²α*] = u/√[1+u²]

окончательно получим:

tmin = (u mg)/√[1+u²]