Вправильной треугольной пирамиде со стороной основания 12 и боковым ребром 10 через середину бокового ребра проведено сечение плоскостью, перпендикулярной этому ребру. найдите периметр полученного сечения

103

245

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

nik1ado21

Геометрия

4,8(40 оценок)

проведём сечение пирамиды через ось и боковое ребро sc. середина ребра sc это точка е. пересечение перпендикуляра к этому ребру через точку е с основанием это точка к, находящаяся на высоте основания сд. получим прямоугольный треугольник екс, в котором известна сторона ес = (1/2) sc = (1/2)*10 = 5. в другом треугольнике soc сторона ос равна (2/3) высоты основания. для правильного треугольника авс этот отрезок равен (2/3)*12*cos30 = (2/3)*12*(√3/2) = 4√3. косинус угла с равен ос/sc = 4√3/10 = 2√3/5. теперь можно определить гипотенузу ск в треугольнике екс:

cк = ес/cosc = 5/(2√3/5) = 25/(2√3).

так как ск лежит в плоскости основания на его высоте сд, то равные отрезки ср и см равны:

ср = см = ск / cos 30 = 25/(2√3) / (√3/2) = 25/3 = 8(1/3).

в плоскости боковой грани asc линией пересечения её с заданной секущей плоскостью будет отрезок ем. аналогично в плоскости грани вsc это линия ер.

длину этих равных отрезков (они являются боковыми сторонами в треугольнике рем, который и есть фигурой пересечения пирамиды с заданной плоскостью), находим по теореме косинусов по двум сторонам се и см и косинусу угла между ними.

косинус угла α при основании боковой грани равен 6/10 = 3/5.

тогда ем = ер = √(ес² + см² - 2*ес*см*cos α) =

√(5² + (25/3)² - 2*5*(25/3)*(3/5)) =

= √((25*9 + (625/9) - 9*50)/9) = √400 / 3 = 20/3.

отрезок рм находим из пропорции подобных треугольников сав и срм:

рм = см = 25/3 = 8(1/3).

ответ: периметр треугольника, образованного сечением пирамиды плоскостью, перпендикулярной ребру sc в его середине, равен:

р = (25/3) + 2*(20/3) = (25 + 40) / 3 = 65/3 = 21(2/3).