Докажите, что четырехугольник авсд с вершинами в точках а(1,3,2), в(0,2,4), с(1,1,4), д(2,2,2) есть параллелограмм. вычислите cos a.

275

434

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

kirilenkok1

Геометрия

4,8(72 оценок)

Найдем стороны четырехугольника авсd: длина вектора, заданного координатами, равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.чтобы найти координаты вектора, заданного координатами начала и конца, надо от координат конца отнять соответствующие координаты начала. ав{-1; -1; 2}, |ab|=√(1+1+4)=√6. bc{1; -1; 0}, |bc|=√(1+1+0)=√2. cd{1; 1; -2},|cd|=√(1+1+2)=√6. ad{1; -1; 0}, |ad|=√(1+1+0)=√2. итак, в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны: ab=cd, bc=da. если противоположные стороны попарно равны, то четырехугольник авсd - параллелограмм.(свойство). что и требовалось доказать. теперь определим угол между двумя соседними векторами ав{-1; -1; 2} и ad{1; -1; 0}. угол α между вектором a и b: cosα=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/[√(x1²+y1²+z1²)*√(x2²+y2²+x2²)]. в нашем случае: cosα=(1+1+0)/[√(1+1+4)*√(1+1+0)] = 2/(2√3) = 1/√3 или cosa=√3/3.

mira0209

Геометрия

4,8(67 оценок)

Вэтой надо знать, что в ортотреугольнике (так называется треугольник a1b1c1) высоты aa1, bb1 и cc1 треугольника abc являются биссектрисами. если это известно, то решение занимает пару строчек. h - точка пересечения высот. в четырехугольнике ac1hb1 два угла прямые, поэтому ∠cab = 180° - ∠b1hc1; но ∠b1hc1 = 180° - (∠hc1b1 + ∠ hb1c1); поэтому ∠cab = ∠hc1b1 + ∠hb1c1 = (∠a1c1b1 + ∠a1b1c1)/2 точно так же ∠cba = ∠ha1c1 + ∠hc1a1 = (∠b1a1c1 + ∠b1c1a1)/2 ∠bca = ∠ha1b1 + ∠hb1a1 = (∠c1a1b1 + ∠c1b1a1)/2 то есть углы треугольника abc будут такие (20° + 90°)/2 = 55°; (20° + 70°)/2 = 45°; (70° + 90°)/2 = 80°; теперь я одно из нескольких известных мне доказательств свойства ортотреугольника. это гораздо интереснее и полезнее, чем эта . если построить окружность на стороне ac, как на диаметре, то она пройдет через точки a1 и c1 (из за прямых углов). это означает, что ∠cc1a1 = ∠caa1; как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу ca1; точно так же, если построить окружность на стороне bc, как на диаметре, то она пройдет через точки b1 и c1, и ∠cc1b1 = ∠cba1; как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу cb1; но ∠a1ac = ∠b1bc = 90° - ∠acb; следовательно ∠a1c1c = ∠b1c1c, чтд => сс1 является биссектрисой ∠b1c1a1; само собой, и про остальные высоты все доказывается точно так же.