Построить график функции y = (2x^2+1)/x^2 по следующему алгоритму: 1) область определения функции 2) непрерывность функции и её четность(lim y =? при x-> +- ∞) 3) пересечение с осями координат и точки разрыва (найти точки разрыва с пределов) 4) асимптоты (вертикальные и наклонные, найти их через пределы) 5) возрастание, убывание, экстремумы функции(через достаточные условия) 6) выпуклость, вогнутость и перегибы графика 7) построить сам график со всеми асимптотами

235

346

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

Isuna

Математика

4,7(74 оценок)

Дано: ; исследовать функцию и построить график. решение: 1) функция не определена при обращении в ноль знаменателя, т.е. x ≠ 0 . d(f) ≡ r \ {0} ≡ ; 2) в функции встречаются только чётные степени аргумента, а значит она чётная. докажем это: ; найдём первую производную функции y(x) : ; ; при x = 0, производная y'(x) – не определена, как и сама функция, при всех остальных значениях аргумента функция и её первая производная определены и конечны, а значит функция непрерывная на всей области определения d(f) – на всей числовой прямой, кроме ноля. 3) функция не определена при x = 0 . это точка разрыва. при этом её значение стремится к положительной бесконечности, что легко доказать: ; если приравнять функцию к нолю, получим: ; ; ; – что невозможно ни при каких действительных значениях аргумента; значит, никаких пересечений графика с осями координат нет. 4. найдем асимптоты y(x). по найденному в (3) пределу, ясно, что линия x = 0 – является вертикальной двухсторонней асимптотой графика функции y(x) . посмотрим, что происходит с функцией y(x) при устремлении аргумента к ± : ; значит, уходя на бесконечность обоих знаков график функции y(x) имеет двунаправленную горизонтальную асимптоту y = 2 ; наклонных асимптот нет, и не может быть, так как есть горизонтальные с обеих сторон. 5. первая производная функции y(x) : – положительна при отрицательных значениях аргумента и отрицательна при положительных х ; значит, функция возрастает на и убывает на ; уравнение т.е. – не имеет решений, а значит, у функции нет экстремумов, т.е. конечных локальных минимумов или максимумов. 6. найдём вторую производную функции y(x) : ; при любых значениях аргумента ; в силу общей положительности второй производной – график функции всегда «улыбается», т.е. он вогнут, или, говоря иначе: он закручивается против часовой стрелки на всём своём протяжении при проходе по числовой оси аргументов слева направо. поскольку выгнутость повсеместна, то и точек перегиба не может быть. и их нет, соответственно. 7. при х = ± 1 : : : y(x) = 3 ; при х = ± 2 : : : y(x) = 2.25 ; при х = ± 1/2 : : : y(x) = 6 ; строим график:

Sunshinesun88

Математика

4,5(84 оценок)

1) 6 5/6+ 2 3/8= 6 20/24 + 2 9/24= 8 29/24= 9 5/24 2) 3 3/5 - 2 6/7 = 3 21/35- 2 30/35= 126- 100 = 26 3) 5/6+ 3/8 - 1/3 = 20/24 + 9/24- 8/24= 21/24 = 7/8