Математика: Докажите, что при любом натуральном n число 4^n+15n-1 кратно 9

langueva1405

19.05.2023 18:49

Математика

Есть ответ 👍

Докажите, что при любом натуральном n число 4^n+15n-1 кратно 9

270

380

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

Daniyal11111111

Математика

4,8(90 оценок)

Докажем, что при любом натуральном и выражение а(n) = 4n + 15n - 1 кратно 9. используем стандартную схему доказательства: 1. при n = 1 выражение a(1) = 41 + 15 · 1 - 1 = 18 кратно 9. 2. предположим, что при n = k выражение а(k) = 4k + 15k - 1 кратно 9, т. е. 4k + 15k - 1 = 9р (где р - натуральное число). 3. при n = k + 1 надо доказать, что выражение а(k +1) = 4k+1 + 15(k + 1) - 1 делится на 9. для доказательства можно использовать два способа. 1-й способ. поступим, как и в примере 1, т. е. выделим в выражении а(k + 1) часть а(k), которая делится на 9. для этого преобразуем выражение а(k + 1) к виду а(k +1) = 4k+1 + 15k + 14 = 4(4k + 15k - 1) – 45k + 18 = 4 а(k) + 9(2 – 5k). видно, что выражение а(k + 1) является суммой двух слагаемых, каждое из которых делится на 9. сложность этого способа состоит в умении в выражении а(k + 1) выделить часть а(k), т. е. догадаться до преобразования 4k+1 + 15k + 14 = 4(4k + 15k - 1) – 45k + 18. поэтому рассмотрим другой способ, лишенный такого недостатка. 2-й способ. из выражения 4k + 15k - 1 = 9р (пункт 2) найдем 4k = 9р + 1 – 15k и подставим в выражение а(k +1) = 4k+1 + 15k + 14 = 4(9p + 1 – 15k) + 15k + 14 = 36p + 18 – 45k. видно, что выражение a(k + 1) состоит из трех слагаемых, каждое из которых делится на. 9. связь между пунктами 2 и 3 была обеспечена за счет того, что в пункте 2 была найдена величина 4k и подставлена в выражение пункта 3. заметим, что если на число п накладываются по условию ограничения, то необходимо ввести новое натуральное число т и свести к старой схеме.