Решить . в трапеции abcd меньшее основание bc равно a, прилежащие к этому основанию углы равны 105°, диагонали взаимно перпендикулярны. найдите площадь трапеции.

280

430

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

НадеждаАрико

Геометрия

4,4(76 оценок)

способ 1

прилежащие к меньшему основанию углы равны 105°, значит, трапеция - равнобедренная, и вокруг нее можно описать окружность, как вокруг четырехугольника, сумма противоположных углов которого равна 180° (свойство).

пусть центр описанной окружности - о.

проведем через середины оснований высоту трапеции нк.

середина вс- н, середина аd - к, и точка пересечения диагоналей - м.

отрезок нк перпендикулярен основаниям, делит их пополам и проходит через центр окружности (свойство радиуса и хорды).

сумма внутренних односторонних углов при пересечении параллельных оснований трапеции секущей ав равна 180°.

углы трапеции при основании аd равны 180°-105°=75°

соединим вершины а и в трапеции с центром о окружности.

треугольник аов - равнобедренный со сторонами, равными r.

его углы при ав равны ∠ сва- ∠сво=105°-60°=45°.

следовательно, ∠ оак= ∠вак-∠ вао=75°- 45°=30°

в треугольнике вос с равными радиусу боковыми сторонами центральный угол вос опирается на ту же дугу, что вписанный угол вdс, поэтому вдвое больше его (свойство).

∠вос=30°•2=60°, отсюда и углы при вс=60°.

∆ вос - равносторонний, во=ос=вс=r=а.

высота этого треугольника он=а•sin 60°=(а√3)/2

в ∆ оак противолежащий углу 30° катет ок=ао: 2=а/2.

высота трапеции нк=но+ок=(а√3)/2+a/2=a•(√3+1): 2

площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму оснований, т.е. на среднюю линию.

высота равнобедренной трапеции, диагонали которой пересекаются под прямым углом, равна её средней линии.

поэтому s=[a•(√3+1): 2]• [a•(√3+1): 2]=а²•(2+√3): 2 (ед. площади)

***********************

способ 2

поскольку углы при вс равны, трапеция авсd- равнобедренная, и углы при аd равны 180°-105°=75°

диагонали равнобедренной трапеции равны и при пересечении образуют с основаниями равнобедренные треугольники. по условию диагонали взаимно перпендикулярны, ⇒ ∆ вмс и ∆ amd - равнобедренные прямоугольные. углы в этих треугольниках при вс и ad равны 45°

площадь трапеции равна произведению высоты на среднюю линию.

высота h равнобедренной трапеции, чьи диагонали взаимно перпендикулярны, равна ее средней линии и равна сумме высот треугольников bmc и amd.

h=нм+мк. s=h²

нм=0,5•bс=а/2 ( по свойству медианы и высоты равнобедренного прямоугольного треугольника)

мc=вс•sin 45°= (a√2): 2

md=mc•tg60°=(a√2•√3): 2

мк=md•sin45º=[(a√2•√3): 2]•√2/2=a√3/2

h=a/2+a√3/2=a•(1+√3)/2

s=[a•(1+√3)/2]²=а²•(2+√3): 2 (ед. площади)