Вравнобедренном треугольнике длина основания равна 4, а медианы, проведенные к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны. найти площадь треугольника

100

198

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

RABOTAY

Геометрия

4,6(57 оценок)

Пусть а, в и с - это вершины треугольника, причем а и в - вершины при основании. точка пересечения боковых медиан - о. проведем третью медиану см из вершины с, она тоже пройдет через точку о (т.к. все медианы пересекаются в одной точке - эта точка делит каждую медиану в отношении 1: 2, т.е. ом = см/3). в равнобедренном теругольнике медиана, проведенная из вершины, является одновременно и биссектрисой этого угла, и высотой. основание теугольника известно по условию. если мы найдем величину высоты см, то легко найдем площадь треугольника - s = см * ав /2. заметим, что треугольник аов прямоугольный (по условию, т.к. медианы пересекаются под прямым углом) и равнобедренный ( трегольники аос и вос равны по равенству двух сторон и углов между ними, т.к. ас=вс по условию, со - общая сторона и углы асо и сов равны, поскольку со - биссектриса угла асв, следовательно, ао=ов). углы при основании треугольника аов равны и составляют 45 градусов каждый. поэтому треугольник аом тоже равнобедренный (угол амо прямой, а угол оам 45 градусов, значит, и угол аом тоже 45 градусов). следовательно, ам=ом (как стороны равнобедренного треугольника аом). ам равна половине основания ав (т.к. см - медиана), следовательно ом =2. полная длина медианы см=ом * 3 = 6. s = см * ав /2 = 6 * 4 / 2 = 12.