Из комбинаторики. найти формулу общего члена последовательности, заданной рекуррентным соотношением a0 = 1; a1 = 0; an = 4an-1 - 4an-2, n > 1

188

251

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

rusleon

Математика

4,5(54 оценок)

А₀=1; а₁= 0 найдем а₂= 4*0-4*1 = - 4 найдем формулу общего члена последовательности аn=k₁*an₋₁+k₂*an₋₂ из нашей последовательности следует что к₁= 4, к₂= - 4 для этого составим характеристическое уравнение которое имеет общий вид r²=k₁r+k₂ где k₁=4 k₂=-4 получим r²=4r-4 r²-4r+4=0 d=0 r=2 таким образом общие решение рекуррентного соотношения имеет вид зададим систему если известно что а₁=0 и а₂=-4 0=с₁*2°+c₂*1*2⁰ ⇒ 0= c₁+c₂⇒ c₁= - c₂ -4= c₁*2¹+c₂*2*2¹⇒ -4 = 2c₁+4c₂ из первого уравнение с₁= - с₂ подставим во второе -4 = -2с₂ + с₂*4 с₂= - 2 и с₁= 2 подставим в общий вид таким образом общий член последовательности можно задать видом