4. на доске записано число 111…11 (99 единиц). двое играют в следующую игру. игроки ходят по очереди, причем за ход разрешается либо записать нуль вместо одной из единиц (кроме первой и последней), либо стереть один из нулей. проигрывает тот, после хода которого число будет делиться на 11. кто выиграет при правильной игре?

243

455

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

pMatbq

Алгебра

4,4(86 оценок)

Во-первых, признак делимости на 11. чтобы проверить, делится ли число на 11, нужно сложить отдельно цифры на нечетных местах и на четных. а потом вычесть из большего меньшее. если разность равна 0 или будет делиться на 11, то и число делится на 11. во-вторых, у нас число из 99 единиц, всего нечетное количество знаков. на нечетных местах стоит 50 единиц и на четных местах 49 единиц. никто из игроков не должен допустить, чтобы получилось число из четного числа 1 без 0, потому что оно делится на 11. в-третьих, проанализируем саму игру. первым ходом нельзя стереть 0, потому что нулей нет. можно только заменить 1 на 0. если первый игрок заменит нечетную 1 на 0, то получится число, в котором 49 нечетных 1 и 49 четных 1. оно делится на 11 и он сразу проиграл. значит, он заменит четную 1 на 0. получится 50 нечетных 1 и 48 четных. если теперь второй игрок сотрет этот 0, получится число из 98 единиц, которое делится на 11. значит, второй тоже заменит какую-то 1 на 0. если он заменит нечетную, то получится 49 нечетных и 48 четных. а если он заменит четную, то получится 50 нечетных и 47 четных. в обоих случаях он не проиграет. дальше трудно анализировать, думаю, что им обоим выгодно не стирать нули, а заменять единицы на нули. в конце концов они заменят все 97 внутренних единиц (последнюю замену сделал первый игрок). первую и последнюю 1 менять нельзя, поэтому остается только стереть 0. это сделает второй игрок. получится число , в котором всего 98 цифр, то есть первая 1 на нечетном месте, а последняя на четном. число делится на 11, поэтому второй игрок проиграл.