Из круглого бревна диаметра d надо вырезать прямоугольного сечения.каковы должны быть ширина и высота этого сечения чтобы оказывала наибольшее сопротивление на изгиб? (сопротивление на изгиб пропорционально произведению ширины ее поперечного сечения на квадрат ее высоты: q=kxy^2 k=const)

277

351

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

shodruz28071998

Алгебра

4,6(98 оценок)

По соображениям понятно, что k > 0 - толстую явно сложнее согнуть, чем тонкую. начиная с этого момента будем считать, что k = 1 ( скажут, что мы выбрали такую систему координат, в которой k безразмерно и равно 1) - это явно никак не влияет на положение максимума. можно считать, что сечение сделано так, как будто прямоугольник со сторонами x, y вписан в окружность диаметра d (почему это верно: пусть всё не так, и, например, x при фиксированном y можно увеличить. тогда увеличим - и q тоже увеличится, чего не может быть, если достигнут максимум.) если прямоугольник вписан, то его диагональ - диаметр окружности. по теореме пифагора x^2 + y^2 = d^2, откуда y^2 = d^2 - x^2. подставляем это в формулу и получаем такую формулировку : найти максимальное значение функции q(x) = x(d^2 - x^2) на отрезке [0, d]. берем производную: q'(x0) = (x0 * d^2 - x0^3)' = d^2 - 3x0^2 присваиваем производную к нулю и решаем получившееся уравнение (учтя, что x > 0): d^2 - 3x0^2 = 0 x0^2 = d^2 / 3 найденная точка - точка максимума (хотя бы потому, что q' > 0 при 0 < x < x0 и q' < 0 при x > x0). поэтому можно сразу писать ответ. ответ.