При каких значения параметра a неравенство верно для всех x: (8x^2−20x+16)/(4x^2+10x+7)≤a?

226

473

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

marinaerm

Математика

4,7(19 оценок)

(8x^2-20x+16) / (4x^2+10x+7) < = a (8x^2-20x+16) / (4x^2+10x+7) - a < = 0 (8x^2-20x+16 - a*(4x^2+10x+7)) / (4x^2+10x+7) < = 0 ((8-4a)*x^2 - (20+10a)*x + (16-7a)) / (4x^2+10x+7) < = 0 разложим на множители знаменатель 4x^2+10x+7 = 0 d = 10^2 - 4*4*7 = 100 - 112 = -12 < 0 корней нет, знаменатель всегда положителен. значит, числитель должен быть не положителен при любом x (8-4a)*x^2 - (20+10a)*x + (16-7a) < = 0 (8-4a)*x^2 - 2(10+5a)*x + (16-7a) < = 0 если квадратный трехчлен не принимает значений > 0 ни при каком x, значит, у него коэффициент при x^2 должен быть отрицательным 8 - 4a < 0; отсюда a > 2 а дискриминант должен быть d = 0, потому что неравенство имеет 1 корень. если бы оно имело 2 корня, то на каком-то отрезке было бы > 0. а если бы оно не имело корней, то было бы везде строго < 0. находим дискриминант d/4 = (10+5a)^2 - (8-4a)(16-7a) = 100+100a+25a^2-128+64a+56a-28a^2 = = -3a^2 + 220a - 28 = 0 решаем это новое условие d/4 = 110^2 - (-) = 12100 - 84 = 12016 a1 = (-110-√12016)/(-3) = (110+√12016)/3 ~ (110+109,62)/3 ~ 73,2 > 2 a2 = (-110 + √12016)/(-3) ~ 0,13 < 2 - не подходит. ответ: a = (110+√12016)/3