Вравнобедренном треугольнике abc с вершиной b проведена медиана am к боковой стороне. найдите квадрат радиуса окружности, описанной около треугольника abc, если радиусы окружностей, описанных около треугольников abm и amc, равны соответственно 36 и 9.

171

437

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

генадийпетрович

Математика

4,4(36 оценок)

Пусть o₁ и o₂ - центры окружностей, описанных вокруг amс и abm, а r₁=9 и r₂=36 - их радиусы. ∠ao₂o₁=∠abc как половины центрального угла ao₂m и, аналогично, ∠ao₁o₂=∠acm как половины центрального угла ao₁m. значит, треугольники ao₂o₁ и abc подобны по двум углам. обозначим через m' и m их соответственные медианы из а. тогда их коэффициент подобия k=m/m'. т.к. половина медианы am является высотой треугольника ao₁o₂, то по теореме синусов его радиус описанной окружности r'=r₂/(2sina)=r₂/(2*(m/2)/r₁)=r₁r₂/m. значит, радиус окружности, описанной около abc равен r=r'k=(r₁r₂/m)*(m/m')=r₁r₂/m'. достраивая ao₁o₂ до параллелограмма, и пользуясь тем, что в нем сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон, получим 2r₁²+2r₂²=4m'²+r₂², откуда m'=0,5√(2r₁²+r₂²), т.е. r=2r₁r₂/√(2r₁²+r₂²)=9*2*4/√(2+16)=12√2. таким образом, r²=288.