Докажите, что любую выпуклую фигуру можно заключить внутри центрально-симметричной выпуклой фигуры, площадь которой не более удвоенной площади фигуры.

199

445

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

НастяЛитвинюк

Геометрия

4,8(18 оценок)

Под фигурой будем понимать замкнутое множество на плоскости. фигура f называется выпуклой, если отрезок, соединяющий любые две точки f, целиком лежит в f. пусть ab - диаметр f, т.е. ab - отрезок максимальной длины целиком содержащийся в f. проведем через его концы перпендикулярные ему прямые. тогда фигура f целиком лежит между ними (иначе ab не был бы диаметром f). также проведем две прямые параллельные отрезку ab, так, чтобы f целиком лежала между ними, и будем сближать эти прямые до тех пор, пока они не коснутся f в точках c и d по разные стороны от ab (или, в крайнем случае, одной из них лежащей на ab). в результате мы получим, что фигура f заключена в прямоугольник, со сторонами а и b (ab=a) который, очевидно, является выпуклой центральнно-симметричной фигурой. в силу выпуклости f четырехугольник acbd целиком лежит в f. его площадь равна ab*h₁/2+ab*h₂/2=ab*(h₁+h₂)/2=ab/2, здесь h₁ и h₂ - расстояния от c и d до ab. таким образом, s(f)≥s(acbd)=ab/2, т.е. площадь прямоугольника, в котором содержится f, не превосходит удвоенной площади f. p.s. здесь мы неявно пользовались некоторыми фактами: 1) выпуклая фигура, имеющая площадь - ограниченное множество. действительно, если фигура имела точки не лежащие на одной прямой и была неограниченным множеством, то она содержала бы треугольник сколь угодно большой площади, т.е. не имела бы конечной площади. 2) в силу п.1) мы всегда можем поместить нашу фигуру между параллельными прямыми и по этой же причине (а также в силу замкнутости f и непрерывности длины) в нашей фигуре существует диаметр - отрезок максимальной длины.