Алгебра: Найти общее решение уравнения y +y -2y=-4+e^x

arinka90

02.09.2020 23:20

Алгебра

Есть ответ 👍

Найти общее решение уравнения y''+y'-2y=-4+e^x

162

275

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

Вика2006a

Алгебра

4,5(92 оценок)

Ладно попробуем попробуем повыделываться. перед нами линейное дифференциальное уравнение 2го порядка, с постоянными коэффициентами, к тому же неоднородное. общее решение неоднородного уравнения находится в виде суммы общего решения однородного уравнения (правую часть заменить на 0), и какого нибудь ненулевого частного решения неоднородного уравнения. приступим. отработаем однородное уравнение (2) cоответствующее характеристическое уравнение: (3) (3) обычное квадратное уравнение. его корни: где d - дискриминант уравнения (3) d=1-4*1*(-2)=1+8=9 хороший дискриминант, корень нацело извлекается и корни получаются действительные. ладно продолжаем (4) (5) общее решение однородного уравнения (2) получается в виде: (6) где и произвольные константы (постоянные). с учетом (4), (5) общее решение (6) выглядит так: (7) так, есть общее решение однородного уравнения. теперь надо найти частное решение неоднородного. частное решение ищем в таком виде: (8) где a и b некоторые коэффициенты, значения которых нам надо подобрать. подбирать будем так: найдем 1-ю и 2-ю производные (8) и подставим их и (8) в уравнение (1) вместо , и y. 1-я производная частного решения: (9) 2-я производная: (10) ну вот, подставляем (8), (9), (10) в уравнение (1): раскрываем скобки и перегруппировываем слагаемые в левой части: таким образом получили такое соотношение для определения "неопределенных коэффициентов" a и b: (11)приравниваем коэффициенты в правой и левой частях (11) при одинаковых степенях е. получаем : фактически простая система обычных линейных уравнений, решив которую, получаем: (12) т еперь, с учетом (12) , час тное решение (8) примет вид: ( 13) ну вот, объеденяя (7) и (13), получаем общее решение уравнения (1): (14) фуу! кажется все! проверку, выполнять пока не буду надо чайку хлебнуть. неленивый может сам подставить (14) в (1) и проверить получится ли равенство. : )