Найдите наименьшее натуральное число, которое делится ровно на четыре натуральных числа, меньших себя самого.

111

194

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

FenteziV

Математика

4,4(86 оценок)

Предположим, что мы нашли такое число, обозначим его х. рассмотрим его разложение на простые множители. если в этом разложении есть хотя бы два различных простых числа a и b и разложение состоит более чем из двух можителей (т.е. х=a*b*c, где c – некоторое натуральное число, большее 1), то х делится на 1, на a, на b, на a*b и на c. заметим, что 1, a, b и a*b – различные натуральные числа. так как х должно делиться ровно на четыре натуральных числа, меньших себя самих, то либо c=a, либо c=b, либо c=a*b. но в таком случае число х будет делиться либо на a2, либо на b2, что в свою очередь не равно ни одному из чисел 1, a, b и a*b. получили противоречие. если х=a*b, где a и b – различные простые числа, то натуральные числа, меньшие х, которые делят х, – это только 1, a и b. значит, в разложении числа х на простые множители не может быть двух различных простых чисел. тогда число х есть некоторая степень простого числа (а так как нужно найти наименьшее такое х, то х – степень двойки). натуральные числа, меньшие 23, делящие 23, – это только 1, 2 и 4. значит, степень должна быть больше 3. 24 делят как раз только 1, 2, 4 и 8. значит, наименьшее натуральное число, которое делится ровно на четыре натуральных числа, меньших себя самого, равно 24=16.