По кругу расставлены 2015 натуральных чисел. известно, что любые два соседних числа отличаются или на 1, или на 2, или в два раза больше. докажите, что хотя бы одно из этих чисел делится на 3.

172

264

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

Stasburlakov

Математика

4,5(62 оценок)

Допустим, это не так. значит остаток чисел от деления на 3 может быть только 1 или 2. следующее число не может иметь такой же остаток в случае прибавления или вычитания 1 или 2, без обнуления остатка, только смена значения с 1 на 2 и наоборот. при увеличении на 2 остаток также увеличивается в 2 раза, и его значение меняется с 1 на 2 или с 2 на 1 (удвоенный остаток 2 равен 4, что аналогично остатку 1). при уменьшении в 2 раза ситуация аналогичная, обратная рассмотренным примерам с умножением. мы рассмотрели все возможные случаи. получается только чередование чисел с остатками , 2, 1, поскольку число 2015 нечётное, то в конце встречаются два числа с одинаковыми остатками и преобразовать одно число в другое без изменения остатка разрешёнными условием невозможно. налицо противоречие.