Дана окружность с центром в точке o и точка а , лежащая вне этой окружности. из точки a проведены две прямые, касающиеся данной окружности в точках m и n найдите радиус этой окружности если ao = 50 mn = 48 и известно что am

130

287

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

danveressov

Математика

4,7(36 оценок)

Пусть r - радиус. касательная к окружности перпендикулярна радиусу. следовательно, соединив точки а, м, о и а, о, n получим два равных прямоугольных треугольника амо и аnо, поскольку ом=оn=r, а сторона оа - общая, а сами треугольники прямоугольные. в таком случае мn в точке пересечения (обозначим ее р) с ао делится пополам. то есть мр= nр= 48/2=24 к тому же отрезок ао перпендикулярен отрезку мn. рассмотрим треугольник амо. 1) ом=r, ао =50, высота мр=24 по теореме пифагора ао² = ом² + ам² следовательно, 50² = r² + ам², ам² = 50² - r² 2) высота мр делит ао на два отрезка ор и ар ор² = ом² - мр², то есть ор² = r² - 24² и ар² = ам² - мр², или (ао - ор)² = ам² - мр², то есть [50 - √(r² - 24²)]² = ам² - 24² отсюда ам² = [50 - √(r² - 24²)] + 24² 3) поскольку левые части уравнений из 1) и 2) равны, то равны и правые части: 50² - r² = [50 - √(r² - 24²)]² + 24² 50² - r² = 50² - 2•50•√(r² - 24²) + r² - 24² + 24² -50² + r² + 50² - 2•50•√(r² - 24²) + r² - 24² + 24² = 0 2r² - 2•50•√(r² - 24²) = 0 r² - 50•√(r² - 24²) = 0 r² = 50•√(r² - 24²) r²/50 = √(r² - 24²) (r²/50)² = [√(r² - 24²)]² (r²)²/2500 = r² - 24² (r²)² = 2500r² - 2500•576 (r²)² - 2500r² + 1440000 = 0 дискриминант = 2500•2500 - 4• 1440000 = = 6250000 - 5760000 = 490000 первый корень уравнения: r² = (2500 + √490000)/2= = (2500+ 700)/2 = 3200/2 = 1600 следовательно, r=√1600 = 40 второй корень уравнения: r² = (2500 - √490000)/2 = = (2500 - 700)/2 = 1800/2 = 900 следовательно, r=√900 = 30 4) поскольку по условию ам< ом, иначе говоря, ам< r и из 1) известно, что ао² = ом² + ам², или 50² = r² + ам², следовательно, ам² = 50² - r² подберем верный корень: 1. ам² = 50² - r² = 2500-1600=900 ам = √900 = 30 2. ам² = 50² - 30² = 2500-900=1600 ам = √1600= 40 для выполнения условия ам< r подходит корень r=40, при котором ам=30 ответ: r=40

Простоелена26

Математика

4,7(66 оценок)

примем за начало отсчета 3 часа. (для удобства считаем в 12-ти часовом формате). часовая будет на цифре 3, а минутная - на цифре 12.

минутная делает полный оборот за 1 час, т.е.

360 ° : 60 = 6 град./мин. на такой угол поворачивается минутная стрелка в каждую минуту.

пусть минутная стрелка отойдет от начала отсчета на х мин, тогда:

6 * х = 6х (град) угол поворота минутной стрелки.

часовая стрелка проходит один оборот за 12 часов

360° : 12 * 3 = 90° такой угол будут составлять часовая и минутная стрелка к началу отсчета.

60 * 12 = 720 (мин) за такое время совершает один оборот часовая стрелка.

360° : 720 = 0,5 (град/мин) настолько поворачивается в минуту часовая стрелка.

0,5 * х + 90° угол будет иметь (от 12 часов) часовая стрелка, когда после отметки 3 часов совпадет с минутной.

6х = 0,5х + 90° равенство углов (условие совпадения стрелок в промежутке между цифрами 3 и 4)

5,5х = 90°

х = 90 : 5,5 = 16,(36) мин = 16 мин 21,(81) сек ≈ 16 мин

т.е. между цифрами 3 и 4 часовая и минутная стрелки совпадут приблизительно в 3 часа 16 мин, второе совпадение в 15 часов 16 мин (для 24-рех часового формата).

ответ: 3 часа 16 мин (15 часов 16 мин)

приложение: на фото видно, что часовая стрелка чуть-чуть отошла от 16 мин. отошедшая минутная стрелка минуту назад была на этом месте.