Дан квадрат со стороной b, в него вписана окружность, в эту окружность вновь вписан квадрат так, что стороны вновь получившегося квадрата параллельным сторонам данного квадрата. в этот квадрат опять вписана окружность и т.д. до бесконечности. найдите сумму площадей всех полученных квадратов, а также сумму длин всех полученных окружностей.

218

225

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

ледезе

Геометрия

4,8(25 оценок)

Диаметр окружности равен стороне описанного квадрата и диагонали вписанного. поэтому у квадрата №2 диагональ равна стороне квадрата №1, то есть b; поэтому площадь второго квадрата в 2 раза меньше, чем у первого. бесконечная сумма площадей выглядит так b^2*(1 + 1/2 + 1/4 + = 2*b^2; это просто прогрессия со знаменателем q = 1/2; линейные размеры двух последовательных окружностей связаны так же, как и линейные размеры последовательных квадратов (а - то есть длина первой окружности π*b; второй π*b/√2 и так далее, сумма длин окружностей будет такаяπ*b(1+ 1/√2 + 1/2 + 1/2√2 + = π*b/(1 - 1/√2) = π*b*√2*(√2 + 1) = π*b*(2 + √2)