Апофема правильной треугольной пирамиды равна 4 см, а двугранный угол при основании равен 60 градусов. найдите объем пирамиды.

268

270

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

milinamonid

Геометрия

4,4(61 оценок)

Апофема -это высота боковой грани является в нашем случае высотой пирамиды. нам известен угол между боковой стороной и основанием можем найти середину основания(которая является радиусом описанной вокруг него окружности) r=4*cos60=4/2=2 так как нам известен радиус описанной окружности значит найдем сторону треугольника r=a√3 ⇒ a= 2/√3 сторону основания нашли, найдем тогда и его площадь s=a*a*sin 60 /2 s= 4/3 * √3/2 /2 =√3 / 3 v=s*h/3= √3/3 * 4/3 =4√3/9

TamaraKengurs

Геометрия

4,7(43 оценок)

пусть a, b - катеты, c - гипотенуза, r - радиус вписанной окружности.

точка пересечения медиан лежит на медиане к гипотенузе на расстоянии 2/3 её длины от вершины прямого угла. легко увидеть, что расстояния от точки пересечения медиан до катетов равны a/3 и b/3. соединим эту точку с центром вписанной окружности, которая находится на расстоянии r от обоих катетов. предположим, что этот отрезок равен r - и сразу получается соотношение.

(a/3 - r)^2 + (b/3 - r)^2 = r^2;

(a^2 + b^2)/9 - 2*r*(a + b)/3 + r^2 = 0;

подставим a + b = 2*r + c; a^2 + b^2 = c^2;

c^2/9 - 2*r*(2*r + c) + r^2 = 0;

r^2 + 2*r*c - c^2/3 = 0;

(r/c)^2 + 2*(r/c) - 1/3 = 0; обозначаем r/c = x;

x^2 + 2*x - 1/3 = 0; (x+1)^2 = 4/3; x = 2*корень(3)/3 -1;

поскольку a/c + b/c = 2*(r/c) + 1; то

sin(a) + cos(a) = 4*корень(3)/3 -1; возводим в квадрат обе стороны

1 + sin(2*a) = (4*корень(3)/3 -1)^2;

sin(2*a) = (2 - корень(3))*8/3;

a = (1/2)*arcsin((2 - корень(3))*8/3);