Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, и каждая из них делится точкой пересечения в отношении 2 : 1, если считать от вершины.
300
500
Ответы на вопрос:
Пусть медианы MB и PA треугольника MNP пересекаются в точке O
Найдем середины C и D отрезков ОР и OM и рассмотрим четырехугольник ABCD. Его стороны AB и DC параллельны и равны как средние линии треугольников MNP и MOP с общей стороной MP. Поэтому четырехугольник ABCD — параллелограмм.
Поскольку диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, то OD = OB. Учитывая, что D — середина отрезка OM, получаем MD = OD = OB. Значит, МО:ОБ = 2:1. Так же РО:ОА= 2:1.
Остается доказать, что третья медиана NE проходит через точку O. Пусть медианы NE и MB пересекаются в точке O1 (рис. 136). Тогда по доказанному MO1:'O1B = 2- 1. Учитывая, что и МО ': ОВ = 2:1, заключаем, что точки O1 и O делят отрезок MB в одном и том же отношении. А это значит, что точка O1 совпадает с точкой O. Значит, медиана NE проходит через точку O пересечения медиан MB и PA.
Найдем середины C и D отрезков ОР и OM и рассмотрим четырехугольник ABCD. Его стороны AB и DC параллельны и равны как средние линии треугольников MNP и MOP с общей стороной MP. Поэтому четырехугольник ABCD — параллелограмм.
Поскольку диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, то OD = OB. Учитывая, что D — середина отрезка OM, получаем MD = OD = OB. Значит, МО:ОБ = 2:1. Так же РО:ОА= 2:1.
Остается доказать, что третья медиана NE проходит через точку O. Пусть медианы NE и MB пересекаются в точке O1 (рис. 136). Тогда по доказанному MO1:'O1B = 2- 1. Учитывая, что и МО ': ОВ = 2:1, заключаем, что точки O1 и O делят отрезок MB в одном и том же отношении. А это значит, что точка O1 совпадает с точкой O. Значит, медиана NE проходит через точку O пересечения медиан MB и PA.
организация, которая осуществляет контроль над ценой и объёмом предложения на рынке и поэтому максимизировать прибыль, выбирая объём и цену предложения,[ю либо исключительное право, связанное с авторским правом, патентом, торговым знаком или с созданием государством искусственной монополии.
Популярно: Другие предметы
-
silva7824.10.2022 08:45
-
Margarita091217708.06.2021 06:56
-
lavin99729.12.2021 13:54
-
вано13806.03.2020 10:12
-
РафикЖирафик24.09.2022 03:30
-
Гуманитарийлох07.04.2021 10:07
-
ELiNa9865374231.05.2023 22:17
-
Unicorn47122.12.2022 01:44
-
vikysikkkkk10.03.2023 23:43
-
Sashafgbjk31.05.2023 12:04