Бісектриси AM i BK рівностороннього трикутника ABC пepeтинаються в точці О. Доведіть, що АО : ОМ = 2 : 1
237
491
Ответы на вопрос:
Доведения:
Нехай ∆АВС - рівносторонній, AM i ВК - бісектриси, перетинаються в т. О.
Доведемо, що АО : ОМ = 2 : 1.
В ∆АВС ∟А = ∟B = ∟С = 60°.
∟ABK = ∟KBC = 1/2∟B = 60°: 2 = 30° (ВК - бісектриса ∟B).
∟BAM = ∟MAC = 1/2∟A = 60°: 2 = 30° (АМ - бісектриса ∟A).
В ∆ABC рівносторонньому бісектриса є висотою. AM ┴ ВС, ВК ┴ АС.
Розглянемо ∆ВОМ (∟M = 90°, AM ┴ ВС).
Нехай ОМ = х, тоді ОВ = 2 • ОМ = 2х (оскільки ∟OBM = 30°).
Розглянемо ∆АОВ:
∟BAO = ∟ABO = 30°, тоді ∆АОВ - рівнобедрений з основою АВ.
Отже, АО = ВО = 2х.
АО : ОМ = 2х : х = 2 : 1.
Нехай ∆АВС - рівносторонній, AM i ВК - бісектриси, перетинаються в т. О.
Доведемо, що АО : ОМ = 2 : 1.
В ∆АВС ∟А = ∟B = ∟С = 60°.
∟ABK = ∟KBC = 1/2∟B = 60°: 2 = 30° (ВК - бісектриса ∟B).
∟BAM = ∟MAC = 1/2∟A = 60°: 2 = 30° (АМ - бісектриса ∟A).
В ∆ABC рівносторонньому бісектриса є висотою. AM ┴ ВС, ВК ┴ АС.
Розглянемо ∆ВОМ (∟M = 90°, AM ┴ ВС).
Нехай ОМ = х, тоді ОВ = 2 • ОМ = 2х (оскільки ∟OBM = 30°).
Розглянемо ∆АОВ:
∟BAO = ∟ABO = 30°, тоді ∆АОВ - рівнобедрений з основою АВ.
Отже, АО = ВО = 2х.
АО : ОМ = 2х : х = 2 : 1.
Популярно: Другие предметы
-
ruzannakokh07.01.2022 19:12
-
davidgjggjj26.03.2020 07:33
-
Wishnewski01.12.2022 12:30
-
Psix7303.06.2020 01:54
-
fake2310.03.2023 08:51
-
Evdjr29.05.2021 00:23
-
tashkaostrovska21.04.2020 02:18
-
katya878787104.07.2022 17:52
-
Багирая23.06.2022 21:12
-
flaming133712.06.2021 07:46