Про семь чисел известно, что сумма любых шести из них делится на 5. Докажите, что каждое из чисел делится на 5.

291

365

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

Gelmi

Другие предметы

4,6(29 оценок)

Обозначим данные числа a1, a2, …, a7. По условию каждая из сумм a1+a3+a4+a5+a6+a7 и a2+a3+a4+a5+a6+a7 делится на 5, следовательно, их разность a1-a2 будет делиться на 5; это означает, что числа a1 и a2 имеют одинаковые остатки от деления на 5. Рассматривая разности других сумм, аналогично устанавливаем, что все заданные числа имеют одинаковые остатки от деления на 5. Пусть это остаток r (0≤r<5). Тогда любая из рассматриваемых сумм имеет при делении на 5 тот же остаток, что и 6r, а поскольку по условию он равен 0, должно быть r=0.